「当記事は自由にコピペして使っていただいても構いません。by Seito sijyuku Watanabe https://nabenekocom.blogspot.com/」
清藤士塾の渡辺です。
数学には双子素数問題という未解決問題があります。そもそも双子素数以前に素数とは何かについてですが、素数は１と自分自身以外では割り切れない数字です。２，３，５，７，・・・と素数は無限にあることが証明されています。
双子素数とは、素数と素数の差が２である素数、つまり、５と７、１１と１３、１７と１９などです。素数自体が未だに定式化されておらず、法則性はあるのでしょうが、ほとんどランダムといえる数値列であります。素数の出現法則以上に双子素数の出現法則は謎であり、僕もいろいろと長い間考えてみたのですが、最近になって何となくその手がかりのようなものが掴めてきました。
素数には、オイラーが編み出したx^2+x+41のようにxに0から整数値を次々に代入していけば、４０個以上連続で素数が出るものもあります（x^2とはxの２乗であり、xを２回掛けた数値です）。例えば、x^2+x+41に0,1,2,3,・・・と整数値を代入していけば次のようになります。
0x0+0+41=41、1×1+1+41=43、2×2+2+41=47、3×3+3+41=53、・・・と連続して素数が出現していることが見て取れます。僕は、もっと簡単な数式で素数を表せるのではないかと考えてみました。
それは、3a+5b,5a+7b,3a+7b,の三式です。ここでポイントは、aとbに掛けられている係数の3,5,7はそれぞれ奇数なので、aとbは片方が奇数であり、もう片方が偶数である必要があります。なぜなら、素数は2以外は奇数だからです。さらに、最低限必要となるポイントは、3,5,7,a,bが互いに素でなければならない点です。
互いに素とは、例えば、12と18はそれぞれ6×2と6×3なので互いに6の倍数です。この場合、最大公約数は6であると言い、6が一番大きな共通の約数となります。一方、12と13は13が素数なので、2x2x3=12と1×13=13で共通の約数が存在しません。つまり、最大公約数は1となり、これは1以外の共通の約数を持たないという意味で互いに素と言います。
この互いに素が必要な理由は、例えば3a+5bの場合、3×7+5×4=41の場合、互いに素であり、素数になるための最低限の条件を満たしていることになります。しかし、3×7+5×6=51であれば、3と6は共通の公約数である3を持つため、51=3×17となり、3の倍数となり、素数ではないことがわかります。
ここまでの話として、素数になるためには最低限互いに素である必要がありますが、3と5とaとbのどれか一つの組み合わせの差が1である必要があります。3と5はあるいは3と7、5と7は互いに差が2か4であるため、差が1である条件を満たしません。具体例に移りましょう。
3×4+5×5=37 素数 3と4と5の差が1
3×11+5×10=83 素数 11と10の差が1
また、双子素数になる場合には次の条件に従います（しかし、これが全てではありません）。
双子素数になるためには、aとbの差が1であれば、数値を入れ替えることにより、差が2の数値が生じます。例えば、次の例に従います。
3×1+5×2=13 双子素数
3×2+5×1=11 双子素数
3×7+5×8=61 双子素数
3×8+5×7=59 双子素数
3×13+5×14=109 双子素数
3×14+5×13=107 双子素数
3×22+5×23=181 双子素数
3×23+5×22=179 双子素数
3×28+5×29=229 双子素数
3×29+5×28=227 双子素数
3×31+5×32=253=3×31+20×8=23×11 31-8=23 20+3=23
3×32+5×31=251 素数
3×37+5×38=301=7×43 38-3=35=7×5 37+5=7×6
3×38+5×37=299=2×57+5×37 57-5=13×4 37+2=13×3
3×43+5×44=349 双子素数
3×44+5×43=347 双子素数
清藤士塾 Seitoushi international School 